Jika garis y=2x-4 memotong lingkaran x^2+y^2+6x-20=0 di titik K dan L, panjang tali busur KL adalah A.2√6 B.4 C.6 D.6√2 E.6√3

Jika garis y = 2x – 4 memotong lingkaran x² + y² + 6x – 20 = 0 di titik K dan L, panjang tali busur KL adalah 6 satuan. Hasil tersebut diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan garis ke persamaan lingkaran. Rumus jarak antara dua titik yaitu:

= [tex]\sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}[/tex]

Pembahasan

Diketahui

• Persamaan garis: y = 2x – 4
• Persamaan lingkaran: x² + y² + 6x – 20 = 0

Garis dan lingkaran berpotongan di titik K dan L

Ditanyakan

Panjang KL = … ?

Jawab

Kita substitusikan y = 2x – 4 ke persamaan lingkaran

x² + y² + 6x – 20 = 0

x² + (2x – 4)² + 6x – 20 = 0

x² + 4x² – 16x + 16 + 6x – 20 = 0

5x² – 10x – 4 = 0

• a = 5
• b = –10
• c = –4

Dengan menggunakan rumus ABC diperoleh:

x = [tex]\frac{-b \: \pm \: \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}[/tex]

x = [tex]\frac{-(-10) \: \pm \: \sqrt{(-10)^{2} - 4(5)(-4)}}{2(5)}[/tex]

x = [tex]\frac{10 \: \pm \: \sqrt{100 + 80}}{10}[/tex]

x = [tex]\frac{10 \: \pm \: \sqrt{180}}{10}[/tex]

x = [tex]\frac{10 \: \pm \: \sqrt{36 \times 5}}{10}[/tex]

x = [tex]\frac{10 \: \pm \: 6\sqrt{5}}{10}[/tex]

x = [tex]\frac{5 \: \pm \: 3\sqrt{5}}{5}[/tex]

x₁ = [tex]\frac{5 \: + \: 3\sqrt{5}}{5}[/tex] atau x₂ = [tex]\frac{5 \: - \: 3\sqrt{5}}{5}[/tex]

Selisih dari x₂ dan x₁ adalah

(x₂ – x₁) = [tex]\frac{5 \: - \: 3\sqrt{5}}{5} - \frac{5 \: + \: 3\sqrt{5}}{5}[/tex]

(x₂ – x₁) = [tex]\frac{5 \: - \: 3\sqrt{5} \: - \: 5 \: - \: 3\sqrt{5}}{5}[/tex]

(x₂ – x₁) = [tex]\frac{-6\sqrt{5}}{5}[/tex]

Karena y = 2x – 4 maka selisih dari y₂ dan y₁ adalah

(y₂ – y₁) = (2x₂ – 4) – (2x₁ – 4)

(y₂ – y₁) = 2x₂ – 4 – 2x₁ + 4

(y₂ – y₁) = 2x₂ – 2x₁  

(y₂ – y₁) = 2(x₂ – x₁)

(y₂ – y₁) = 2[tex](\frac{-6\sqrt{5}}{5})[/tex]

(y₂ – y₁) = [tex](\frac{-12\sqrt{5}}{5})[/tex]

Jadi garis dan lingkaran berpotongan di titik K(x₁, y₁) dan L(x₂, y₂) sehingga panjang tali busur KL adalah

= [tex]\sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}[/tex]

= [tex]\sqrt{(\frac{-6\sqrt{5}}{5})^{2} + (\frac{-12\sqrt{5}}{5})^{2}}[/tex]

= [tex]\sqrt{\frac{36(5)}{25} + \frac{144(5)}{25}}[/tex]

= [tex]\sqrt{\frac{36}{5} + \frac{144}{5}}[/tex]

= [tex]\sqrt{\frac{180}{5}}[/tex]

= [tex]\sqrt{36}[/tex]

= 6

Jawaban C

Pelajari lebih lanjut  

Contoh soal lain tentang lingkaran

• Pusat (0, 0) dan berjari-jari 4:  brainly.co.id/tugas/23019968
• Pusat (–3, –4) dan melalui titik (1, 2): brainly.co.id/tugas/10156905
• Menyinggung sumbu y: brainly.co.id/tugas/5832035

------------------------------------------------

Detil Jawaban    

Kelas : 11

Mapel : Matematika  

Kategori : Persamaan Lingkaran

Kode : 11.2.3