integral dari 2x+21 / 2x^2+9x-5

Integrasi fungsi rasional,

Tetap menggunakan penyebut sebagai u, hingga diberikan:
[tex]$\begin{align}u&=2x^2+9x-5 \\ du&=(4x+9)\, dx\end{align}[/tex]

Pada 2x+21, bentuk tersebut dapat dimanipulasi hingga diperoleh bentuk (4x+9), hingga diperoleh:
[tex]\displaystyle 2x+21=\frac12(4x+9)+\frac{33}2[/tex]

Hingga integran tersebut berubah menjadi:
[tex]$\begin{align}\int\frac{2x+21}{2x^2+9x-5}\, dx &= \int\frac{\frac12(4x+9)+\frac{33}2}{2x^2+9x-5}\, dx \\ &=\frac12\int\frac{4x+9}{2x^2+9x-5}\, dx+\frac{33}2\int\frac{1}{2x^2+9x-5}\, dx\end{align}[/tex]

Dalam proses pengintegralan, akan dibagi 2:

Integran 1: Pada suku pertama ruas kanan
Tetap menggunakan u serupa, sehingga menjadikan bentuk:
[tex]$\begin{align}\frac12\int\frac{4x+9}{2x^2+9x-5}\, dx &= \frac12\int\frac1u\, du \\ &=\frac12\ln|u|+C \\ &=\frac12\ln|2x^2+9x-5|+C\end{align}[/tex]

Simpan hasil pertama tersebut, yang nanti akan digabung untuk integran kedua.

Integran 2: Pada suku kedua ruas kanan
Gunakan proses pengkuadratan sempurna pada penyebut, yang akan diperoleh:
[tex]$\begin{align}2x^2+9x-5&=2(x^2+\frac92x)-5 \\ &=2(x+\frac94)^2-5-2.\left(\frac94\right)^2 \\ &=2(x+\frac94)^2-5-\frac{81}8 \\ &=2(x+\frac94)^2-\frac{121}8\end{align}[/tex]
Sesuaikan bentuk integran:
[tex]$\begin{align}\frac{33}2\int\frac{1}{2x^2+9x-5}\, dx&=\frac{33}2\int\frac1{2(x+\frac94)^2-\frac{121}8} \\ &=264\int\frac1{16(x+\frac94)^2-121}\end{align}[/tex]

Gunakan substusi:
[tex]~~v=x+\frac94 \\ dv=\, dx[/tex]

Dari hasil tersebut, dengan bantuan dekomposisi pecahan parsial, akan diperoleh:
[tex]$\begin{align}264\int\frac1{16(x+\frac94)^2-121}&=264\int\frac{1}{16v^2-121}\, dv \\ &=264\int\left(\frac{A}{4v+11}+\frac{B}{4v-11}\right)\, dv\end{align}[/tex]

Dalam proses eliminasi, diperoleh nilai A dan B masing-masing:
1 = A(4v-11) + B(4v+11)
1 = (4A+4B)v + (11B-11A)
Diperoleh A = -1/22, dan B = 1/22

Diperoleh hasil berikut (denga pemisahan konstanta):
[tex]$\begin{align}264\int\frac1{16(x+\frac94)^2-121}&=264\int\left(\frac{-1/22}{4v+11}+\frac{1/22}{4v-11}\right)\, dv \\ &=12\int\left(\frac{1}{4v-11}-\frac1{4v+11}\right)\, dv \\ &=12\left(\frac14\ln|4v-11|-\frac14\ln|4v+11|\right)+C \\ &=3\ln\left|\frac{4v-11}{4v+11}\right|+C \\ &=3\ln\left|\frac{4(x+\frac94)-11}{4(x+\frac94)+11}\right|+C \\ &=3\ln\left|\frac{4x-2}{4x+20}\right|+C \\ &=3\ln\left|\frac{2x-1}{x+5}\right|+C\end{align}[/tex]

Hasil akhir integran awal adalah penjumlahan kedua integran, hingga diperoleh hasil akhir:
[tex]\displaystyle \int\frac{2x+21}{2x^2+9x-5}\, dx=\frac12\ln|2x^2+9x-5|+3\ln\left|\frac{2x-1}{x+5}\right|+C[/tex]