Luas daerah diantara kurva y = x²-9 dan y = (2x-1)(x+3) adalah...

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² – 9 dan y = (2x – 1)(x + 3) adalah [tex]\frac{1}{6}[/tex] satuan luas.

Penjelasan dengan langkah-langkah

Integral adalah lawan dari turunan (anti turunan).

Rumus dasar:

• ∫ kxⁿ dx = [tex]\frac{k}{n + 1} x^{n + 1}[/tex] + C, dengan n ≠ –1

Bentuk umum integral tentu

• ₐ∫ᵇ f’(x) dx = f(x) ₐ|ᵇ = f(b) – f(a)

Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva pada interval a ≤ x ≤ b yaitu:

• Luas = [tex]\left|\int \limits_{a} \limits^{b}(y_{1} - y_{2}) \: dx \right|[/tex]

Diketahui

• y = x² – 9
• y = (2x – 1)(x + 3)

Ditanyakan

Tentukan luas daerah yang dibatasi kedua kurva tersebut!

Jawab

Langkah 1

• y = x² – 9 = (x + 3)(x – 3) ⇒ x = –3 atau x = 3

Kurvanya berupa parabola yang terbuka ke atas, memotong sumbu X di x = –3 dan x = 3 serta memotong sumbu y di y = –9.

Langkah 2

• y = (2x – 1)(x + 3) ⇒ x = ½ atau x = –3

Kurvanya adalah parabola yang terbuka ke atas, memotong sumbu X di x = ½ dan x = –3 serta memotong sumbu y di y = –3.

Langkah 3

Absis dari titik potong kedua kurva adalah

                   y = y

(2x – 1)(x + 3) = x² – 9

2x² + 5x – 3 = x² – 9

   x² + 5x + 6 = 0

 (x + 2)(x + 3) = 0

(x + 2) = 0 atau (x + 3) = 0

       x = –2               x = –3  

Langkah 4

Jadi luas daerah kurvanya adalah

L = [tex]\left|\int \limits_{-3} \limits^{-2}{(2x^{2} \:+\: 5x \:-\: 3) \:-\: (x^{2} \:-\: 9)} \: dx \right|[/tex]

 = [tex] \left|\int \limits_{-3} \limits^{-2}{2x^{2} \:+\: 5x \:-\: 3 \:-\: x^{2} \:+\: 9} \: dx \right| [/tex]

 = [tex] \left|\int \limits_{-3} \limits^{-2}{x^{2} \:+\: 5x \:+\: 6} \: dx \right|[/tex]

 = [tex] \left|\left(\frac{1}{3}x^{3} \:+\: \frac{5}{2}x^{2} \:+\: 6x\right) \: |\limits_{-3} \limits^{-2} \right|[/tex]

 = [tex] \left|\left(\frac{1}{3}(-2)^{3} \:+\: \frac{5}{2}(-2)^{2} \:+\: 6(-2)\right) \:-\: \left(\frac{1}{3}(-3)^{3} \:+\: \frac{5}{2}(-3)^{2} \:+\: 6(-3)\right) \right|[/tex]

 = [tex] \left|\left(-\frac{8}{3} \:+\: 10 \:-\: 12\right) \:-\: \left(-9 \:+\: \frac{45}{2} \:-\: 18\right) \right| [/tex]

 = [tex] \left|\left(-\frac{8}{3} \:-\: 2\right) \:-\: \left(\frac{45}{2} \:-\: 27\right) \right|[/tex]

 = [tex] \left|-\frac{8}{3} \:-\: 2 \:-\: \frac{45}{2} \:+\: 27 \right|[/tex]

 = [tex] \left|-\frac{8}{3} \:-\: \frac{45}{2} \:+\: 25\right|[/tex]

 = [tex] \left|-\frac{16}{6} \:-\: \frac{135}{6} \:+\: \frac{150}{6}\right|[/tex]

 = [tex] \left|-\frac{1}{6}\right|[/tex]

 = [tex] \frac{1}{6}[/tex] satuan luas

Langkah 5

Cara lain

Luas daerah yang hanya dibatasi dua kurva yaitu y₁ dan y₂ dengan y₁ – y₂ = ax² + bx + c adalah

• L = [tex]\frac{D \sqrt{D}}{6a^{2}}[/tex]
• D = b² – 4ac

berarti

y₁ – y₂ = (2x² + 5x – 3) – (x² – 9)

           = x² + 5x + 6

• a = 1
• b = 5
• c = 6

D = b² – 4ac

  = 5² – 4(6)(1)

  = 25 – 24

  = 1

Jadi luas daerah kurvanya adalah

L = [tex]\frac{D \sqrt{D}}{6a^{2}}[/tex]

 = [tex]\frac{1 \sqrt{1}}{6(1)^{2}}[/tex]

 = [tex]\frac{1}{6}[/tex] satuan luas

Pelajari lebih lanjut    

• Materi tentang anti turunan: https://brainly.co.id/tugas/10446883
• Materi tentang integral Aljabar: brainly.co.id/tugas/2664669
• Materi tentang integral Substitusi: brainly.co.id/tugas/5642218

------------------------------------------------    

Detil Jawaban      

Kelas : 12

Mapel : Matematika

Kategori : Integral

Kode : 12.2.1

#AyoBelajar