KUIS FISIKA Kode: Olim-02-4-6

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Diket :
massa ketiga partikel sama besarnya, mA = mB = mC = m
panjang batang AB = L
kecepatan awal partikel C, Vo
kecepatan pusat massa batang AB setelah tumbukan, Vcm
kecepatan akhir partikel C setelah tumbukan, Vo'

Tanya :
A. Tentukan Vcm, ω, dan Vo' dinyatakan dalam θ, L dan Vo
Terjadi tumbukan dan tdk ada gaya luar yg bekerja maka Berlaku hukum kekekalan Momentum
P = P'
m.Vo = - m. Vo' + m.Vcm + m.Vcm
Vo = - Vo' + Vcm + Vcm
Vo = - Vo' + 2.Vcm
Vo' = 2.Vcm - Vo ........ Pers (1) ← Jwb

dan tidak ada torsi dari luar yg bekerja maka berlaku hukum kekekalan Momentum sudut :
L = L'
m.Vo.r = - m.Vo'.r + I.ω
 
dimana :
(*) r adalah jarak pertikel ke pusat massa batang AB, dari gambar sebesar,
r = L/2. sin θ
(**) I adalah momen inersia partikel A dan B pada batang AB
I = m.(L/2)² + m.(L/2)²
I = 1/4.m.L² + 1/4.m.L²
I = 1/2.m.L²

maka :
m.Vo.r = - m.Vo'.r + I.ω
m.Vo.L/2. sin θ = - m.Vo'. L/2. sin θ + 1/2.m.L².ω → massa m di coret

Vo.L/2. sin θ = - Vo'. L/2. sin θ + 1/2.L².ω → panjang batang, L di coret

Vo.1/2. sin θ = - Vo'. 1/2. sin θ + 1/2.L.ω → semua dikali 2

Vo. sin θ = - Vo'. sin θ + L.ω

L.ω = Vo. sin θ + Vo'. sin θ 

L.ω = (Vo + Vo').sin θ

maka :

ω = (Vo + Vo')/L. sin θ ..........Pers (2) 
ω = (Vo + 2.Vcm - Vo)/L. sin θ
ω = (2.Vcm)/L. sin θ


ω² = (Vo + Vo')²/L². sin² θ
ω² = (Vo + 2.Vcm - Vo)²/L². sin² θ
ω² = (2.Vcm)²/L². sin² θ
ω² = 4.Vcm²/L². sin² θ


Step 1 
---------
Gunakan Hukum kekekalan Energi 
Ek awal = Ek akhir
EkC = EkA + EkB + + EkC' + Ek rotasi batang
1/2.m.Vo² = 1/2.m.Vcm² + 1/2.m.Vcm² + 1/2.m.(- Vo')² + 1/2.I.ω² 
m.Vo² = m.Vcm² + m.Vcm² + m.(- Vo')² + I.ω²
m.Vo² = m.Vcm² + m.Vcm² + m.(Vo')² + 1/2.m.L².(Vo + Vo')²/L². sin² θ
m.Vo² = m.Vcm² + m.Vcm² + m.(Vo')² + 1/2.m.(Vo + Vo')². sin² θ
Vo² = Vcm² + Vcm² + (Vo')² + 1/2.(Vo + Vo')². sin² θ
Vo² = 2.Vcm² + (Vo')² + 1/2.(Vo + Vo')². sin² θ
2.Vo² = 4.Vcm² + 2.(Vo')² + (Vo + Vo')². sin² θ

ingat dari pers (1) diperoleh : Vo' = 2.Vcm - Vo, masukkan ke pers atas
2.Vo² = 4.Vcm² + 2.(Vo')² + (Vo + Vo')². sin² θ
2.Vo² = 4.Vcm² + 2.(2.Vcm - Vo)² + (Vo + 2.Vcm - Vo)². sin² θ
2.Vo² = 4.Vcm² + 2.(2.Vcm - Vo)² + (2.Vcm)². sin² θ
2.Vo² = 4.Vcm² + 2.[4.Vcm² - 4.Vo.Vcm + Vo²] + 4.Vcm². sin² θ
2.Vo² = 4.Vcm² + 8.Vcm² - 8.Vo.Vcm + 2.Vo² + 4.Vcm². sin² θ
0 = 4.Vcm² + 8.Vcm² - 8.Vo.Vcm + 4.Vcm². sin² θ
0 = 12.Vcm² - 8.Vo.Vcm + 4.Vcm². sin² θ
0 = 12.Vcm - 8.Vo + 4.Vcm.sin² θ
8.Vo = 12.Vcm + 4.Vcm.sin² θ
2.Vo = 3.Vcm + Vcm.sin² θ
2.Vo = Vcm.(3 + sin² θ)

Jadi :
Vcm = 2.Vo / (3 + sin² θ) ← Jwb


Jadi Kesimpulannya : 

Vcm = 2.Vo / (3 + sin² θ)

dan 

ω = 2.Vcm/L. sin θ atau 
ω = 2.[2.Vo / (3 + sin² θ)] / L. sin θ
ω = 4.Vo.sin θ / (3 + sin² θ).L 

dan 

Vo' = 2.Vcm - Vo


(i). Tentukan sudut θ = __?, agar Vcm = Max
maka :
d/dθ. (Vcm) = 0
d/dθ. (2.Vo / (3 + sin² θ)) = 0

d/dθ. (3 + sin² θ)⁻¹ = 0
- (3 + sin² θ)⁻².(2.sin θ. cosθ) = 0
- (3 + sin² θ)⁻².(sin 2θ) = 0
maka :
sin 2θ = 0 ⇔ θ = 0 agar Vcm = max
artinya :
batang AB dalam keadaan horizontal (θ = 0) agar kecepatan pusat massa batang AB bergerak ke kanan dengan kecepatan pusat massanya sebesar, 
Vcm max = 2.Vo / (3 + sin² θ)
Vcm max = 2.Vo / (3 + sin² 0)
Vcm max = 2.Vo / (3 + 0)
Vcm max = 2.Vo / 3 

dan besar kecepatan sudut batang AB adalah :
masukkan θ = 0 ke bawah ini :
ω = (2.Vcm)/L. sin θ
ω = (2.Vcm)/L. sin 0
ω = 0 (batang AB tidak berputar)

dan Kecepatan partikel C Akan bergerak kekiri dengan kecepatan :
Vo' = 2.Vcm - Vo
Vo' = 2. [2.Vo / 3] - Vo
Vo' = 4.Vo/3 - Vo
Vo' = Vo/3 

(ii). Tentukan sudut θ = __?, agar ω = Max
maka :
d/dθ. (ω) = 0
d/dθ. (4.Vo.sin θ / (3 + sin² θ) ) = 0

d/dθ. (sin θ / (3 + sin² θ)) = 0
cos θ.(3 + sin² θ) - sin θ.2.sin θ = 0
cos θ.(3 + sin² θ) - 2.sin θ.cos θ = 0
cos θ.(3 + sin² θ - 2.sin θ) = 0
cos θ.(sin² θ - 2.sin θ + 3) = 0
 maka :
cos θ = 0 maka θ = 90° agar ω = max

kemudian masukkan θ = 90° ke dalam Vcm dan ω dan Vo'
didapatkan :
Vcm = 2.Vo / (3 + sin² θ)
Vcm = 2.Vo / (3 + sin² 90°)
Vcm = 2.Vo / (3 + 1)
Vcm = 2.Vo / (4)
Vcm = Vo/2

dan besarnya ω = __?
 ω = 4.Vo.sin θ / (3 + sin² θ).L
ω = 4.Vo.sin 90° / (3 + sin² 90°).L
ω = 4.Vo / (3 + 1).L
ω = Vo/L

dan besarnya Vo' = __?
Vo' = 2.Vcm - Vo
Vo' = 2.(Vo/2) - Vo
Vo' = Vo - Vo
Vo' = 0


(iii) Vo' bernilai max atau minimum ?
d/dθ (Vo') = 0
maka :
nilai sudut agar Vo' max adalah θ = 0°

maka :
Vcm = 2.Vo/3

dan 

ω = Vo/3

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
)|(
FZA

║OLIMPIADE FISIKA║

Pembahasan  : 
Terlampir...

[tex]\text{(iii)}\\\\V'_0\,\ \text{akan bernilai maks atau min pada saat :}\\ \frac{dV'_0}{d \alpha } = 0\\ \frac{d}{d\alpha} ( \frac{Cos^2 \alpha}{3 + sin^2 \alpha}) =0 \\-(Sin2 \alpha)(3 + Sin^2 \alpha)-(Cos^2 \alpha)(Sin 2\alpha) = 0\\(Sin 2\alpha)(3+Sin^2\alpha + Cos^2\aplha) = 0\\(Sin 2\alpha)(4)=0\\Sin2\alpha = 0\\\alpha = 0^o[/tex]

[tex]\text{Artinya :}\\\\\boxed{\boxed{V'_0 \,\ \text{maks saat horizontal}}}}[/tex]

→→MIPA STUDY CENTER ID←←