Tolonggggg bangeeettttttt yaaaaa, beserta penjelasaaaaaannnnnnn. a. sin [tex] \frac{1}{2} [/tex] x = sin [tex] \frac{ \pi }{4} [/tex] ; 0° ≤ x ≤ 2[tex] \pi [/

[tex]Sin \frac{1}{2}x = Sin \frac{ \pi }{4}\\ \frac{1}{2}x = \frac{ \pi }{4}\\x = \frac{ \pi }{2}\\\\sin(x - \pi ) = sin \frac{ \pi }{3}\\x - \pi = \frac{ \pi }{3}\\x = \frac{ \pi }{3} + \pi \\x = \frac{4 \pi }{3}\\\\Cos 2x = cos x\,\ ?\,\ \text{Soal aneh...} [/tex]

Soal 1:
Dikarenakan kedua bentuk adalah dalam sin, diperoleh 2 bentuk solusi umum:
[tex]\frac12x_1=\frac\pi4\pm k.2\pi \\ \frac12x_2=(\pi-\frac\pi4)+k.2\pi=\frac{3\pi}4\pm k.2\pi \\\\ x_1=\frac\pi2\pm k.4\pi \\ x_2=\frac{3\pi}2\pm k.4\pi[/tex]
Untuk k bilangan bulat

Dikarenakan domain yang digunakan hanya dalam interval 0 ≤ x ≤ 2π, maka nilai k yang diperlukan hanyalah k = 0, hingga pada masing-masing solusi umum:
[tex]\displaystyle x_1=\frac\pi2 \\\\ x_2=\frac{3\pi}2[/tex]

Sehingga, diperoleh himpunan penyelesaian:
[tex]\displaystyle HP=\left\{x\ \middle|\ \frac\pi2,\frac{3\pi}2\right\}[/tex]


Soal 2:
Seperti halnya soal pertama, akan diperoleh solusi umum:
[tex]$\begin{align}x_1-\pi&=\frac\pi3\pm k.2\pi&&\to x_1=\frac{4\pi}3\pm k.2\pi \\ x_2-\pi&=\pi-\frac\pi3\pm k.2\pi&&\to x_2=\frac{5\pi}3\pm k.2\pi\end{align}[/tex]
Adapun nilai k yang memenuhi agar berada dalam domain adalah k = 0 saja, sehingga diperoleh himpunan penyelesaian:
[tex]\displaystyle HP=\left\{x\ \middle|\ \frac{4\pi}3,\frac{5\pi}3\right\}[/tex]


Soal 3:
Dikarenakan bentuknya berbeda, sesuaikan cos 2x hingga dapat dinyatakan dengan cos x, dengan identitas sudut ganda:
[tex]$\begin{align}\cos2x&=\cos x \\ 2\cos^2x-1&=\cos x \\ 2\cos^2x-\cos x-1 &=0 \\ (2\cos x+1)(\cos x-1)&=0\end{align}[/tex]

Diperoleh solusi:
cos x = -1/2, dengan penyelesaian x = {210°,330°}
cos x = 1, dengan penyelesaian x = {0°,360°}

Diperoleh himpunan penyelesaian:
HP = {x | 0°, 210°, 330°, 360°}