Mohon bantuannya. Nomof 20 yang a dan b

Soal A.
Naskah soal:
Membuktikan bahwa:
[tex]\boxed{\sum_{k=1}^{99}\frac1{k(k+1)(k+2)}=\frac{5.049}{20.200}}[/tex]

Dalam menguraikan bentuk yang di dalam notasi sumasi tersebut, akan menggunakan dekomposisi pecahan parsial, dengan menentukan nilai konstanta A,B,C sehingga:
[tex]\displaystyle \frac1{k(k+1)(k+2)}=\frac Ak+\frac B{k+1}+\frac C{k+2}[/tex]

Dalam proses penyusunannya, diperoleh penjabaran:
[tex]$\begin{align}\frac1{k(k+1)(k+2)}&=\frac Ak+\frac B{k+1}+\frac C{k+2} \\ \frac1{k(k+1)(k+2)}&=\frac{A(k+1)(k+2)+Bk(k+2)+Ck(k+1)}{k(k+1)(k+2)} \\ 1&=A(k^2+3k+2)+B(k^2+2k)+C(k^2+k) \\ 1&=(A+B+C)k^2+(3A+2B+C)k+2A\end{align}[/tex]

Tinjau konstanta di ruas kiri dan ruas kanan, diperoleh:
[tex]\displaystyle 2A=1\to A=\frac12[/tex]

Sehingga, bentuk tersebut juga dapat digunakan untuk koefisien x dan x²,
[tex]$\begin{align}A+B+C&=0&\to&&B+C&=-\frac12 \\ 3A+2B+C&=0&\to&&2B+C&=-\frac32\end{align}[/tex]

Sehingga, diperoleh juga:
[tex]\displaystyle A=\frac12,~~B=-1[/tex]


Hasil dekomposisi tersebut memberikan penjabaran:
[tex]$\begin{align}\sum_{k=1}^{99}\frac1{k(k+1)(k+2)}&=\sum_{k=1}^{99}\left(\frac{\frac12}{k}-\frac{1}{k+1}+\frac{\frac12}{k+2}\right)\end{align}[/tex]

Pisahkan menjadi dua bagian berikut, hingga diperoleh hasil akhir:
[tex]$\begin{align}&\sum_{k=1}^{99}\left(\frac{\frac12}{k}-\frac{1}{k+1}+\frac{\frac12}{k+2}\right) \\ &=\frac12\sum_{k=1}^{99}\left(\frac1k+\frac1{k+2}\right)-\sum_{k=1}^{99}\frac1{k+1} \\ &=\frac12\left(\left(\frac11+\frac12+\dots+\frac1{99}\right)+\left(\frac13+\frac14+\dots+\frac1{101}\right)\right)-\sum_{k=1}^{99}\frac1{k+1} \\ &=\frac12\left(\frac11+\frac12+\frac1{100}+\frac1{101}+2\left(\frac13+\frac14+\dots+\frac1{99}\right)\right)-\sum_{k=1}^{99}\frac1{k+1}\end{align}[/tex]

Dengan menggunakan fungsi sumasi yang sama,
[tex]$\begin{align}&=\frac12\left(\frac11+\frac12+\frac1{100}+\frac1{101}\right)+\sum_{k=2}^{98}\frac1{k+1}-\sum_{k=1}^{99}\frac1{k+1} \\ &=\frac{15.351}{20.200}+\sum_{k=2}^{98}\frac1{k+1}-\left(\frac12+\sum_{k=2}^{98}\frac1{k+1}+\frac1{100}\right) \\ &=\frac{15.351}{20.200}-\frac12-\frac1{100}+\left(\sum_{k=2}^{98}\frac1{k+1}-\sum_{k=2}^{98}\frac1{k+1}\right) \\ &=\frac{15.351}{20.200}-\frac12-\frac1{100}=\frac{15.351-10.100-202}{20.200}+0 \\ &=\frac{5.049}{20.200}\end{align}[/tex]

Terbukti bahwa:
[tex]\boxed{\sum_{k=1}^{99}\frac1{k(k+1)(k+2)}=\frac{5.049}{20.200}}[/tex]



Soal B.
Naskah soal:
Membuktikan bahwa:
[tex]\boxed{\sum_{r=1}^n\frac1{4r^2-1}=\frac n{2n+1}}[/tex]

Langkah serupa juga dilakukan, dengan menggunakan metode parsial, diperoleh:
[tex]$\begin{align}\frac1{4r^2-1}&=\frac A{2r-1}+\frac B{2r+1} \\ \frac1{4r^2-1}&=\frac{A(2r+1)+B(2r-1)}{4r^2-1} \\ 1&=(2A+2B)r+(A-B)\end{align}[/tex]

Sehingga, diperoleh:
[tex]\displaystyle A=\frac12,~~B=-\frac12[/tex]

Hasil ini memberikan jabaran teleskopik:
[tex]$\begin{align}&\sum_{r=1}^n\frac1{4r^2-1} \\ &=\sum_{r=1}^n\left(\frac{\frac12}{2r-1}-\frac{\frac12}{2r+1}\right) \\ &=\frac12\sum_{r=1}^n\left(\frac{1}{2r-1}-\frac{1}{2r+1}\right) \\ &=\frac12\left(\left(\frac11+\frac13+\dots+\frac1{2n-1}\right)-\left(\frac13+\frac15+\dots+\frac1{2n-1}+\frac1{2n+1}\right)\right) \\ &=\frac12\left(1-\frac1{2n+1}+\left[\left(\frac13+\dots+\frac1{2n-1}\right)-\left(\frac13+\dots+\frac1{2n-1}\right)\right]\right)\end{align}[/tex]

Diperoleh hasil akhir:
[tex]$\begin{align}&=\frac12\left(1-\frac1{2n+1}\right) \\ &=\frac{(2n+1)-1}{2(2n+1)} \\ &=\frac{2n}{2(2n+1)} \\ &=\frac n{2n+1}\end{align}[/tex]

Sehingga, terbukti bahwa:
[tex]\boxed{\sum_{r=1}^n\frac1{4r^2-1}=\frac n{2n+1}}[/tex]