Titik P adalah salah satu titik sudut segitiga siku-siku PQR, siku-siku di Q. Hitunglah nilai perbandingan trigonometri lainnya, jika diketahui: a. sin P = 12/

Kelas : X (1 SMA)
Materi : Trigonometri
Kata Kunci : perbandingan, trigonometri, sudut, siku-siku

Pembahasan :
Perhatikan gambar terlampir.

Misalkan PQ = r, PR = q, QR = p, ∠QPR = ∠P = α, ∠QRP = ∠R = β, dan ∠PQR = ∠Q = γ = 90°. Kemudian, sisi-sisi PQ dan RQ dinamakan sisi siku-siku dan sisi PR dinamakan sisi miring atau hipotenusa.

Rumus Pythagoras, diperoleh
PQ² + QR² = PR²
⇔ r² + p² = q²

Perbandingan trigonometri sudut segitiga PQR yang siku-siku di Q, yaitu :
sin P = [tex] \frac{p}{q} [/tex]
cos P = [tex] \frac{r}{q} [/tex]
tan P = [tex] \frac{p}{r} [/tex]
cosec P = [tex] \frac{q}{p} [/tex]
sec P = [tex] \frac{q}{r} [/tex]
cotan P = [tex] \frac{r}{p} [/tex]

Mari kita lihat soal tersebut.
Titik P merupakan salah satu titik sudut segitiga siku-siku PQR yang siku-siku di Q. Hitunglah nilai perbandingan trigonometri lainnya, bila
a. sin P = [tex] \frac{12}{13} [/tex]
b. tan P = [tex] \frac{2}{3} [/tex]
c. cos P = [tex] \frac{1}{3} [/tex]
d. csc P = 5

Jawab :
a. sin P = [tex] \frac{12}{13} [/tex]
Dengan rumus Pythagoras, diperoleh
12² + r² = 13²
⇔ r² = 13² - 12²
⇔ r² = 169 - 144
⇔ r² = 25
⇔ r = 5

Sehingga
cos P = [tex] \frac{5}{13} [/tex]
tan P = [tex] \frac{12}{5} [/tex]
cosec P = [tex] \frac{13}{12} [/tex]
sec P = [tex] \frac{13}{5} [/tex]
cotan P = [tex] \frac{5}{12} [/tex]

b. tan P = [tex] \frac{2}{3} [/tex]
Dengan rumus Pythagoras, diperoleh
2² + 3² = q²
⇔ q² = 4 + 9
⇔ q² = 13
⇔ q = √13

Sehingga
sin P = [tex]\frac{2}{ \sqrt{13} }= \frac{2 \sqrt{13} }{13} [/tex]
cos P = [tex]\frac{3}{ \sqrt{13} }= \frac{3 \sqrt{13} }{13} [/tex]
cosec P = [tex]\frac{\sqrt{13}}{2} [/tex]
sec P = [tex]\frac{\sqrt{13}}{3} [/tex]
cotan P = [tex]\frac{3}{2} [/tex]

c. cos P = [tex] \frac{1}{3} [/tex]
Dengan rumus Pythagoras, diperoleh
p² + 1² = 3²
⇔ p² = 3² - 1²
⇔ p² = 9 - 1
⇔ p² = 8
⇔ p = √8
⇔ p = 2√2

Sehingga
sin P = [tex] \frac{2 \sqrt{2}}{3}[/tex]
tan P = [tex] \frac{2 \sqrt{2} }{1} [/tex] = 2√2
cosec P = [tex] \frac{3}{2 \sqrt{2} } [/tex]
sec P = [tex] \frac{3}{1} [/tex] = 3
cotan P = [tex]\frac{1}{2\sqrt{2}} [/tex] = [tex] \frac{ \sqrt{2} }{4} [/tex]

d. cosec P = 5 = [tex] \frac{5}{1} [/tex]
Dengan rumus Pythagoras, diperoleh
1² + r² = 5²
⇔ r² = 5² - 1²
⇔ r² = 25 - 1
⇔ r² = 24
⇔ r = √24
⇔ r = 2√6

Sehingga
sin P = [tex] \frac{1}{5} [/tex]
cos P = [tex] \frac{2 \sqrt{6} }{5} [/tex]
tan P = [tex] \frac{1}{2 \sqrt{6} } [/tex] = [tex] \frac{ \sqrt{6} }{12} [/tex]
cosec P = [tex] \frac{5}{1} [/tex] = 5
sec P = [tex] \frac{5}{2 \sqrt{6}} [/tex] = [tex] \frac{5 \sqrt{6} }{12} [/tex]
cotan P = [tex] \frac{2 \sqrt{6}}{1} [/tex] = 2√6

Semangat!